۴- اجازه بدید قبل از اینکه بین 3 شکل بحث کنیم تکلیفمون رو با 4 ضلعی منتظم ( لوزی) مشخص کنیم. در بین تمام لوزی های ممکن با محیط ثابت، مربع بیشترین مساحت رو تولید می کنه.در واقع لوزی 4 زاویه داره که دو به دو با هم مساوین پس میشه به هر لوزی دو عدد رو نسبت داد. زاویه ماکزیمم و زاویه مینیمم. به وضوح هر چه اختلاف این دو عدد بیشتر باشه لوزی شکل کشیده تری داره و دارای مساحت کمتریه و بیشترین مساحت وقتی رخ میده که اختلاف بین زاویه ماکزیمم و مینیمم حداقل ( یعنی صفر ) باشه یعنی وقتی که هر چهار زاویه ی لوزی 90 درجه باشه یعنی یک مربع داشته باشیم. اگر بخوام ریاضی تر این بحث رو دنبال کنم باید بگم که اگر زاویه ماکزیمم رو با a و زاویه مینیمم رو با b نشون بدین داریم a+b=180 لذا می تونین به هر لوزی در واقع یک زاویه مثلا a رو نسبت بدین.به راحتی می تونین اثبات کنید که مساحت لوزی برابر است با (2sin(a  و این مقدار وقتی حداکثره که مشتقش یعنی (2cos(a برابر باشه با صفر یعنی a=90 یعنی همونطور که گفتم هر چهار زاویه لوزی 90 درجه باشند.

 ۵- پس در نهایت به این نتیجه رسیدیم که زنبور باید از بین مثلث متساوی الاضلاع، مربع و 6 ضلعی منتظم یکی رو انتخاب کنه. فرض کنید هر سه ی این شکلهای محیطی برابر با یک داشته باشه. می خوایم مساحت هر کدوم را حساب کنیم و نشون بدیم که مساحت 6 ضلعی منتظم از همشون بیشتره. طول هر ضلع مثلث متساوی الاضلاع با محیط 1 برابر است با یک سوم. با استفاده از قضیه ی فیثاغورس به راحتی می تونین محاسبه کنید که ارتفاع این مثلث برابر است با یک روی 3√2 ، پس مساحت این مثلث برابر است با یک روی  3√12 که تقریبا برابر است با 0.048 یک مربع با محیط 1 دارای اضلاعی به طول یک چهارمه و بوضوح مساحت این مربع یک شانزدهم خواهد شد که تقریبا 0.062 اما شش ضلعی منتظم، طول هر ضلع یک 6 ضلعی منتظم با محیط یک برابر یک ششم است.در واقع 6 ضلعی منتظم از 6 مثلث متساوی الاضلاع به طول یک ششم تشکیل شده است پس مساحت یک مثلث متساوی الاضلاع به طول یک ششم رو محاسبه کرده آن را در 6 ضرب می کنیم تا مساحت 6 ضلعی منتظم به دست بیاید. مشابها،  ارتفاع این مثلث برابر با 3√ روی 12 پس مساحت این مثلث برابر است با 3√ روی 144 لذا مساحت شش ضلعی منتظم شش برابر این مساحت است یعنی 3√ روی 24 که تقریبا برابر است با 0.072 لذا ثابت کردیم که اگر مثلث متساوی الاضلاع، مربع و 6 ضلعی منتظم دارای محیط یکسان باشند 6 ضلعی منتظم مساحت بیشتری ایجاد خواهد کرد!!!

 ۶- زنبورها ریاضیدانان قابلی هستند.البته اون کسی که این قابلیت رو در وجود اونها نهاده ریاضیدان بسیار قابل تریه یعنی خداوندی که دنیا رو بر اساس اصول ریاضی آفرید...

 

منبع: